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\handout{160690220:\hspace{0.08cm}实变函数}{2025 Fall}{Lecture 3: 直线上的点集 }{Professor:\hspace{0.08cm}\emph{邓桂丰}}{\emph{邓桂丰, AI, 唐嘉琪}}

\section{实数直线和区间}

我们用 \( \mathbb{E}^1 \) 表示实数的全体所成的集, 也就是实数直线. 每个实数也称为\textbf{点}. 

直线上最常用的一种点集是区间, 区间有下面几种：

点集 \((\alpha, \beta) = \{x | \alpha < x < \beta\}\) 称为开区间, \(-\infty \leqslant \alpha < \beta \leqslant \infty\). 

点集 \([\alpha, \beta) = \{x | \alpha \leqslant x < \beta\}\) 称为左闭右开区间, 这里 \(-\infty < \alpha \leqslant \beta \leqslant \infty\). 

点集 \((\alpha, \beta] = \{x | \alpha < x \leqslant \beta\}\) 称为左开右闭区间, 这里 \(-\infty \leqslant \alpha \leqslant \beta < \infty\). 

区间 \((\alpha, \beta]\) 或 \([\alpha, \beta)\) 统称作半开半闭区间. 

点集 \([\alpha, \beta] = \{x | \alpha \leqslant x \leqslant \beta\}\) 称做闭区间, 这里 \(-\infty < \alpha \leqslant \beta < \infty\). 

这些点集统称作区间, 可简记为 \(\langle \alpha, \beta \rangle\).\footnote{为了后续课程中叙述方便, 我们容许用$[\alpha,\alpha)$或者$(\alpha,\alpha]$表示空集.}

注意, 一点 \(\alpha\) 所成的集 \(\{\alpha\}\) 也是闭区间, 就是 \([\alpha, \alpha]\). 

设 \(A\) 是一个实数集, 如果存在有限数 \(c\), 使得对于一切 \(x \in A\) 都有 \(x \leqslant c\) (或 \(x \geqslant c\)) , 就说 \(A\) 是有上界(或有下界)的. 这时必有唯一的有限数 \(M\) (或 \(m\)) 适合下述两个条件：
\begin{itemize}
	\item 对一切 \(x \in A, x \leqslant M\) (或 \(x \geqslant m\))；
	\item 对任何正数 \(\varepsilon\), 必有 \(x \in A\) 使得 \(x > M - \varepsilon\) (或 \(x < m + \varepsilon\)).
\end{itemize}

称 \(M\) 是 \(A\) 的\textbf{上确界}, \(m\) 是 \(A\) 的\textbf{下确界}, 记 \(M\) 为 \(\sup\limits_{x \in A} x, m\) 为 \(\inf\limits_{x \in A} x\). 如果 \(A\) 不是有上界的, 规定 \(A\) 的上确界是 \(\infty\), 即 \(\sup\limits_{x \in A} x = \infty\). 有时 \(\sup\limits_{x \in A} x\) 又记做 \(\sup A\). 同样地如果 \(A\) 不是有下界的, 规定 \(A\) 的下确界是 \(-\infty\), 即 \(\inf\limits_{x \in A} x = -\infty\). \(\inf\limits_{x \in A} x\) 又可记为 \(\inf A\). 

\section{开集}

设 \(x_0\) 是直线上的一点, 包含 \(x_0\) 的任何一个开区间 \((\alpha, \beta)\) 称做 \(x_0\) 的一个\textbf{环境}(或\textbf{邻域}). 特别, 如果 \(\varepsilon\) 是一个正数, 称 \((x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon)\) 为 \(x_0\) 的 \(\varepsilon\)-\textbf{环境}, 记为 \(O(x_0, \varepsilon)\). 设 \(A\) 是直线上一个不空的点集, \(x_0 \in A\), 如果存在 \(x_0\) 的环境 \((\alpha, \beta) \subseteq A\), 那么 \(x_0\) 称为点集 \(A\) 的\textbf{内点}. 例如当 \(\alpha < \beta\) 时, 任何区间 \((\alpha, \beta)\) 除端点外的每点都是这个区间的内点. 

\begin{definition}
设 \(G\) 是直线上的一个不空的点集. 如果 \(G\) 中每一点都是 \(G\) 的内点, 称 \(G\) 是\textbf{开集}. 
\end{definition}

例如任何开区间 \((\alpha, \beta)\) 是开集. 我们规定空集是开集. 

\begin{theorem}[开集的基本性质]\label{thm1.4.1}
\leavevmode
\begin{enumerate}%[label=(\roman*)]
\item 空集 \(\varnothing\) 和全直线是开集；\label{thm1.4.1.1}
\item 任意一族开集的和集是开集；\label{thm1.4.1.2}
\item 有限个开集的通集是开集. \label{thm1.4.1.3}
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
\ref{thm1.4.1.1} 是显然的. 现在来证明 \ref{thm1.4.1.2}. 设 \(\{G_\alpha\}\) 是一族开集, 由开集的定义, 要证明 \(G = \bigcup\limits_{\alpha} G_\alpha\) 是开集. 只须对于 \(G\) 中任意一点 \(x_0\), 证明存在 \(x_0\) 的环境 \((\alpha, \beta) \subseteq G\) 就可以了. 因为 \(x_0 \in G\), 必有族中的某开集 \(G_\alpha\), 使得 \(x_0 \in G_\alpha\). 因此 \(x_0\) 是 \(G_\alpha\) 的内点, 所以存在 \(x_0\) 的一个环境 \((\alpha, \beta) \subseteq G_\alpha \subseteq G\). 这就是说 \(x_0\) 是 \(G\) 的内点, 即 \(G\) 是开集. 

最后证明 \ref{thm1.4.1.3}. 设 \(G_1, \dots, G_n\) 是有限个开集. 令 \(G = \bigcap\limits_{\nu=1}^{n} G_\nu\), 我们只要考虑当 \(G\) 不是空集时的情况. 任意取 \(x_0 \in G\), 那么 \(x_0 \in G_\nu\), \(\nu=1, 2, \dots, n\). 因为 \(G_\nu\) 是开集, 所以存在 \(x_0\) 的环境 \((\alpha_\nu, \beta_\nu) \subseteq G_\nu\), \(\nu=1, 2, \dots, n\). 令 \((\alpha, \beta) = \bigcap\limits_{\nu=1}^{n} (\alpha_\nu, \beta_\nu)\), 即 \(\alpha = \max\limits_{1 \leqslant \nu \leqslant n} \alpha_\nu, \beta = \min\limits_{1 \leqslant \nu \leqslant n} \beta_\nu\), 由于 \(\beta_\nu > x_0\), 和 \(\alpha_\nu < x_0\), \((\nu=1, 2, \dots, n)\), 所以 \(\alpha < x_0 < \beta\). 因此, \((\alpha, \beta)\) 是 \(x_0\) 的环境, 并且显然 \((\alpha, \beta) \subseteq (\alpha_\nu, \beta_\nu) \subseteq G_\nu, (\nu=1, \dots, n)\). 所以 \((\alpha, \beta) \subseteq G\), 即 \(x_0\) 是 \(G\) 的内点, \(G\) 是开集.
\end{proof}

在定理 \ref{thm1.4.1} 的 \ref{thm1.4.1.2} 中, ``任意个开集'', 既可以是有限个也可以是无限个. 但是在 \ref{thm1.4.1.3} 中, 如果把``有限个开集''改为``无限个开集'', 那么它们的通集就不一定是开集了. 例如 \(G_n = \left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right), n=1,2,\dots\), 显然它们的通集 \( G = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right) = \{0\} \), 即 \( G \) 是只含有一点0的集, 它不是开集. 

在直线上, 开区间是开集. 

由 \ref{thm1.4.1.2} 可知任意个开区间的和集必是开集. 特别, 一族互不相交非空开区间(根据 Lecture 2 的例 37, 最多是可列个)\(\{(a_\nu, b_\nu)\}\) 的和集 \( G = \bigcup\limits_{\nu} (a_\nu, b_\nu) \) 是开集. 现在我们要证明这正是 \( \mathbb{E}^1 \) 上非空开集的一般形式. 为此引入开集的构成区间概念. 

\begin{definition}
设 \( G \) 是直线上的开集. 如果开区间 \((\alpha, \beta) \subseteq G\), 而且端点 \(\alpha, \beta\) 不属于 \( G \), 那么称 \((\alpha, \beta)\) 为 \( G \) 的一个\textbf{构成区间}. 
\end{definition}

例如开集 \( (0,1) \cup (2,3) \) 的构成区间是 \( (0,1) \) 及 \( (2,3) \). 

\begin{theorem}[开集的构造]
直线上任意一个非空开集可以表示成有限个或可列个互不相交的构成区间的和集. 又当非空开集表示成互不相交的开区间的和集时, 这些开区间必是构成区间. 
\end{theorem}

\begin{proof}
设 \( G \) 是直线上的一非空开集, 分以下四步来论证：

\begin{enumerate}
\item 开集中任何一点必含在一个构成区间中. 事实上, 任意取 \( x_0 \in G \), 记 \( A_{x_0} \) 为适合条件 \( x_0 \in (\alpha, \beta) \subseteq G \) 的开区间 \((\alpha, \beta)\) 全体所成的区间集. 因为 \( G \) 是开集, \( A_{x_0} \) 不会空. 记 \( \alpha_0 = \inf\limits_{(\alpha, \beta) \in A_{x_0}} \alpha, \beta_0 = \sup\limits_{(\alpha, \beta) \in A_{x_0}} \beta \). 

作开区间 \((\alpha_0, \beta_0)\)(其实, \((\alpha_0, \beta_0) = \bigcup\limits_{(\alpha, \beta) \in A_{x_0}} (\alpha, \beta)\)). 显然 \( x_0 \in (\alpha_0, \beta_0)\).  现在证明 \((\alpha_0, \beta_0)\) 是 \( G \) 的构成区间. 先证 \((\alpha_0, \beta_0) \subseteq G\). 任意取 \( x^{\prime} \in (\alpha_0, \beta_0)\), 不妨设 \( x^{\prime} \leqslant x_0 \). 由于 \(\alpha_0\) 是下确界, 所以必有 \((\alpha, \beta) \in A_{x_0}\), 使 \(\alpha_0 < \alpha < x^{\prime}\), 因此 \( x^{\prime} \in (\alpha, x_0) \subseteq (\alpha, \beta) \subseteq G \). 同样, 如果 \( x^{\prime} > x_0 \), 也可以证明类似的结果. 因此 \((\alpha_0, \beta_0) \subseteq G\). 由此顺便得到 \((\alpha_0, \beta_0) \in A_{x_0}\). 再证 \(\alpha_0 \notin G\). 如果不对, 那么 \(\alpha_0 \in G\), 因为 \( G \) 是开集, 必有区间 \((\alpha^{\prime}, \beta^{\prime})\), 使得 \(\alpha_0 \in (\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}) \subseteq G\). 这样, \( x_0 \in (\alpha^{\prime}, \beta_0) \subseteq G\), 因此 \((\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}) \cup (\alpha_0, \beta_0) \subseteq G\), 从而 \((\alpha^{\prime}, \beta_0) \in A_{x_0}\), 而 \(\alpha^{\prime} < \alpha_0\), 这就和 \(\alpha_0\) 是 \(A_{x_0}\) 中的区间左端点的下确界相矛盾. 所以 \(\alpha_0 \notin G\). 同样有 \(\beta_0 \notin G\). 这就是说 \((\alpha_0, \beta_0)\) 是 \(G\) 的构成区间. \label{thm1.4.2.1}

\item 开集 \(G\) 的任何两个不同的构成区间必不相交. 不然的话, 设 \((\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)\) 是 \(G\) 的两个不同的构成区间, 但相交. 这时必有一个区间的端点在另一个区间内, 例如 \(\alpha_1 \in (\alpha_2, \beta_2)\), 但 \((\alpha_2, \beta_2) \subseteq G\), 这和 \(\alpha_1 \notin G\) 矛盾. 因此不同的构成区间不相交. 再由 Lecture 2 例 37, 开集 \(G\) 的构成区间全体最多只有可列个, 记为 \(\{(a_\nu, b_\nu), \nu = 1, 2, \dots\}\).\label{thm1.4.2.2}

\item 由 \ref{thm1.4.2.1}, \ref{thm1.4.2.2} 得到 \(G \subseteq \bigcup\limits_\nu (a_\nu, b_\nu)\). 又由构成区间的定义, 有 \(G \supseteq \bigcup\limits_\nu (a_\nu, b_\nu)\), 所以 \(G = \bigcup\limits_\nu (a_\nu, b_\nu)\). 
\end{enumerate}
下面再证非空的互不相交开区间必是它们的和集的构成区间. 
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item 设 \(G = \bigcup\limits_\nu (\alpha^{\prime}_\nu, \beta^{\prime}_\nu)\) 是一组互不相交的开区间的和集. 现在只要证明每个 \((\alpha^{\prime}_\nu, \beta^{\prime}_\nu)\) 都是 \(G\) 的构成区间. 显然 \((\alpha^{\prime}_\nu, \beta^{\prime}_\nu) \subseteq G\) 若它不是构成区间, 比方说 \(\alpha^{\prime}_\nu \in G\), 那么必有 \(\mu \neq v\) 使得 \(\alpha^{\prime}_\nu \in (\alpha^{\prime}_\mu, \beta^{\prime}_\mu)\) 因而 \((\alpha^{\prime}_\nu, \beta^{\prime}_\nu)\) 与 \((\alpha^{\prime}_\mu, \beta^{\prime}_\mu)\) 相交. 这和假设矛盾. 所以 \(\alpha^{\prime}_\nu \notin G\). 同样 \(\beta^{\prime}_\nu \notin G\). 所以 \((\alpha^{\prime}_\nu, \beta^{\prime}_\nu)\) 是构成区间.
\end{enumerate}
\end{proof}

\section{极限点}

极限概念是分析数学中的基本概念之一. 为了进一步研究实变函数的需要, 我们这里要对直线上点集与极限有关的性质, 作仔细的分析. 

实数列的极限概念在数学分析中通常是这样叙述的：

\begin{definition}
设 \(\{x_n\}\) 是一列实数, 如果存在实数 \(x_0\), 它有下面的性质：对于任何正数 \(\varepsilon\), 存在自然数 \(N\), 使得当 \(n \geqslant N\) 时成立着
\begin{align}
	|x_n - x_0| < \varepsilon \label{1.4.1}
\end{align}

那么称数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(x_0\), 记做 \(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x_0\), 或者记为 \(x_n \to x_0 (n \to \infty)\), 并且称 \(x_0\) 为 \(\{x_n\}\) 的\textbf{极限}. 
\end{definition}

利用一点的环境不难把收敛定义用下面的充要条件来代替. 

\begin{lemma}\label{lemma1}
直线上点列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(x_0\) 的充要条件是对于 \(x_0\) 的任何环境 \((\alpha, \beta)\), 存在自然数 \(N\), 使得当 \(n \geqslant N\) 时有\begin{align}
	x_n \in (\alpha, \beta) \label{1.4.2}
\end{align}
\end{lemma}

\begin{proof}
必要性：设 \(x_n \to x_0\), 那么对 \(x_0\) 的任何环境 \((\alpha, \beta)\), 取正数 \(\varepsilon = \min(\beta - x_0, x_0 - \alpha)\), 这时必有自然数 \(N\) 使得当 \(n \geqslant N\) 时 \(|x_n - x_0| < \varepsilon\), 因此, \(x_n \in (x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon) \subseteq (\alpha, \beta)\). 

充分性：设引理\ref{lemma1}中的条件满足, 对 \(x_0\) 的任何环境 \((x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon)\), 有 \(N\) 使得当 \(n \geqslant N\) 时 \(x_n \in (x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon)\), 这就是\eqref{1.4.1}. 
\end{proof}

下面要讨论点集的极限点. 

\begin{definition}
设 \(A\) 是实数直线上点的点集, \(x_0\) 是直线上的一点(可以属于 \(A\), 也可以不属于 \(A\)), 如果在 \(x_0\) 的任何一个环境 \((\alpha, \beta)\) 中, 总含有集 \(A\) 中不同于 \(x_0\) 的点, 即 \(((\alpha, \beta) - \{x_0\}) \cap A \neq \varnothing\). 那么称 \(x_0\) 为点集 \(A\) 的极限点. 
\end{definition}

显然, 一个点集的内点都是这点集的极限点. 又如当 \(-\infty < a < b < \infty\) 时, 区间 \((a, b)\) 的端点是这区间的极限点. 

\begin{example}\label{eg1}
点集 \(\left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n}, \dots\right\}\) 以 $0$ 为极限点. 
\end{example}

极限点的定义有多种等价的形式. 下述引理中的\ref{lemma2.2}-\ref{lemma2.4}是常用的. 

\begin{lemma}\label{lemma2}
设 \(A\) 是实数直线上的一点集, \(x_0\) 是直线上的一点, 那么下面的四件事是等价的：
\begin{enumerate}%[label=(\roman*)]
\item \( x_0 \) 是集 \( A \) 的极限点. \label{lemma2.1}
\item 存在集 \( A \) 中点列 \(\{x_n\}, x_n \neq x_0 (n=1,2,\dots)\), 使得 \( x_n \to x_0 \). \label{lemma2.2}
\item 存在集 \( A \) 中一列互不相同的点 \(\{x_n\}\), 使得 \( x_n \to x_0 \). \label{lemma2.3}
\item 在 \( x_0 \) 的任何环境 \((\alpha, \beta)\) 中必含有 \( A \) 中无限多个点. \label{lemma2.4}
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
只要证明 \ref{lemma2.1} \(\Rightarrow\) \ref{lemma2.2} \(\Rightarrow\) \ref{lemma2.3} \(\Rightarrow\) \ref{lemma2.4} \(\Rightarrow\) \ref{lemma2.1} 就可以了. 

\ref{lemma2.1} \(\Rightarrow\) \ref{lemma2.2} 设 \( x_0 \) 是 \( A \) 的极限点, 那么对每个正整数 \( n \), 必有 \( x_n \neq x_0 \), \( x_n \in \left( x_0 - \frac{1}{n}, x_0 + \frac{1}{n} \right) \cap A \), 就是说, 有 \( A \) 中不同于 \( x_0 \) 的点列 \(\{x_n\}\), 适合
\[
|x_n - x_0| < \frac{1}{n}
\]
因此 \( x_n \to x_0 \), 这就是条件 \ref{lemma2.2}. 

\ref{lemma2.2} \(\Rightarrow\) \ref{lemma2.3} 设 \( x_0 \) 适合条件 \ref{lemma2.2}. 这时点列 \(\{x_n\}\) 中必有无限多项彼此不相同. 因为如果点列 \(\{x_n\}\) 只由有限多个点组成, 必有一个点 \( a \) 在其中重复出现无限次, 然而 \( x_n \to x_0 \), 那么应该 \( a = x_0 \), 但是这与 \( x_n \neq x_0 \) 冲突. 设 \(\{x_{n_k}\}\) 是 \(\{x_n\}\) 中互不相同的点组成的子序列, 显然, \(\{x_{n_k}\}\) 就是适合 (iii) 中所要求的序列. 

\ref{lemma2.3} \(\Rightarrow\) \ref{lemma2.4} 设 \(\{x_n\}\) 是 \( A \) 中互不相同元素组成的序列, 并且 \( x_n \to x_0 \). 根据引理\ref{lemma1} , 对任何 \( x_0 \) 的环境 \((\alpha, \beta)\), 必存在 \( N \), 当 \( n \geqslant N \) 时, \( x_n \in (\alpha, \beta)\), 即 \((\alpha, \beta)\) 含有 \( A \) 中无限个点. 

\ref{lemma2.4} \(\Rightarrow\) \ref{lemma2.1} 是显然的.
\end{proof}

和极限点相对立的是孤立点. 

\begin{definition}
设 \( A \) 是直线上的点集, \( x_0 \in A \), 如果 \( x_0 \) 有一个环境 \((\alpha, \beta)\), 其中除 \( x_0 \) 外不含有 \( A \) 的点, 即 \([(\alpha, \beta) - \{x_0\}] \cap A = \varnothing\), 称 \( x_0 \) 是 \( A \) 的\textbf{孤立点}. 如果不空的点集 \( A \) 中每一点都是孤立点, 称 \( A \) 是\textbf{孤立集}. 
\end{definition}

从定义可知, 集 \( A \) 中任何一点 \( x_0 \), 如果 \( x_0 \) 不是 \( A \) 的极限点, 那么 \( x_0 \) 必是 \( A \) 的孤立点. 因此, 集 \( A \) 中的内点不是 \( A \) 的孤立点. 一个集 \( A \), 如果 \( A \) 中每一点都不是 \( A \) 自身的极限点时, \( A \) 便是孤立集. 集 \(\left\{1, \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{n}, \dots\right\}\) 就是孤立集. 

\begin{example}\label{eg2}
空集没有极限点. 
\end{example}

\begin{example}\label{eg3}
有限点集或发散到无穷远的点列所成的点集都没有极限点, 所以是孤立点集. 
\end{example}

\begin{example}\label{eg4}
以 \( R_0 \) 表示区间 \([0,1]\) 中的有理数全体. 那么区间 \([0,1]\) 中任何一点都是 \( R_0 \) 的极限点. 除此以外, \( R_0 \) 没有任何其它的极限点. 
\end{example}

\begin{example}\label{eg5}
闭区间 \([0,1]\) 的极限点全体, 就是 \([0,1]\). 
\end{example}

这些例子说明了直线上点集的极限点的各种可能的情况：
\begin{enumerate}
	\item 没有极限点(如例\ref{eg2},\ref{eg3});
	\item 一个点集的极限点可以都不属于这个点集(例\ref{eg1});
	\item 一个点集 \( A \) 的极限点可以一部分在 \( A \) 中, 另一部分不在 \( A \) 中, 甚至极限点比 \( A \) 本身的点还多(如例\ref{eg4});
	\item 一个点集本身同时就是它自己的极限点全体(如例\ref{eg5}).
\end{enumerate}

为了进一步分析点集和它的极限点的关系, 我们引入如下的概念. 

\section{闭集}

\begin{definition}
点集 \( A \) 的极限点的全体所成的集称为 \( A \) 的\textbf{导集}, 记为 \( A^{\prime} \). 
\end{definition}

显然, \( A \) 是孤立集的充要条件是 \( A \cap A^{\prime} = \varnothing \). 

没有极限点的点集, 它的导集是空集. 因而空集的导集是空集. 

\begin{definition}
如果点集 \( A \) 的极限点全部属于 \( A \), 即 \( A^{\prime} \subseteq A \), 称点集 \( A \) 是\textbf{闭集}. 
\end{definition}

因此, 如果点集 \( A \) 没有极限点, 那么 \( A \) 是闭集, 从而空集是闭集. 容易看到闭区间是闭集. 

从下面的定理\ref{thm1.4.3}看出, 闭集就是对于极限运算封闭的点集. 

\begin{theorem}\label{thm1.4.3}
点集 \(A\) 为闭集的充要条件是集 \(A\) 中任何一个收敛点列必收敛于 \(A\) 中的一点. 
\end{theorem}

\begin{proof}
必要性: 设 \(A\) 是一个闭集, \(\{x_n\}\) 是 \(A\) 中的一个收敛点列, \(x_n \rightarrow x_0\). 我们要证明 \(x_0 \in A\), 如果有某个 \(n, x_n = x_0\), 那么自然 \(x_0 \in A\). 如果对一切 \(n, x_n \neq x_0\), 由引理 \ref{lemma2} 的 \ref{lemma2.2} 知道 \(x_0\) 是 \(A\) 的极限点, 于是 \(x_0 \in A^{\prime} \subseteq A\), 所以 \(x_0 \in A\). 

充分性: 设 \(A\) 中任何一个收敛点列必收敛于 \(A\) 中一点, 对于 \(A\) 的任何一个极限点 \(x_0 \in A^{\prime}\), 由引理 \ref{lemma2}, 有 \(A\) 中的收敛点列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(x_0\), 由假设, \(x_0 \in A\), 所以 \(A^{\prime} \subseteq A\), 即 \(A\) 是闭集.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm1.4.4}
点集 \(A\) 成为闭集的充要条件是 \(A\) 的余集 \(A^{\mathsf c} = \mathbb{E}^1 - A\) 是开集. 
\end{theorem}

换句话说, 闭集的余集是开集, 开集的余集是闭集. 

\begin{proof}
必要性: 假设 \(A\) 是闭集, 那么 \(A^{\mathsf c}\) 中任何一点 \(x_0\) 不是 \(A\) 的极限点. 由极限点的定义, 存在 \(x_0\) 的环境 \((\alpha, \beta)\), 使得 \([(\alpha, \beta) - \{x_0\}] \cap A = \varnothing\), 又因 \(\{x_0\} \cap A = \varnothing\), 因此 \((\alpha, \beta) \subseteq A^{\mathsf c}\), 从而 \(x_0\) 是 \(\mathbb{E}^1 - A\) 的内点, 所以 \(A^{\mathsf c} = \mathbb{E}^1 - A\) 是开集. 

充分性: 设 \(A\) 的余集 \(A^{\mathsf c}\) 是开集, 于是对于 \(A^{\mathsf c}\) 中每一点 \(x_0\), 存在 \(x_0\) 的一个环境 \((x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon) \subseteq A^{\mathsf c}\), 自然 \((x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon)\) 中没有 \(A\) 的点, 所以 \(x_0\) 不是 \(A\) 的极限点. 即 \(A\) 的极限点必属于 \(A\), 因而 \(A\) 是闭集.
\end{proof}

从定理\ref{thm1.4.1} 中开集的基本性质, 利用 Lecture 1 的集的和通关系式(1)、(2)及上面定理\ref{thm1.4.4}, 立即得到闭集的基本性质如下：

\begin{theorem}[闭集的基本性质]\label{thm1.4.5}
\leavevmode
\begin{enumerate}%[label=(\roman*)]
\item 空集和全直线是闭集；\label{thm1.4.5.1}
\item 任意一族闭集的通集是闭集；\label{thm1.4.5.2}
\item 有限个闭集的和集是闭集. \label{thm1.4.5.3}
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
\ref{thm1.4.5.1} 是显然的, \ref{thm1.4.5.3} 留给读者做出证明, 这里只证\ref{thm1.4.5.2}. 设 \(\{F_\lambda\}\) 是一族闭集, 它们的余集 \(F_\lambda^{\mathsf c} = \mathbb{E}^1 - F_\lambda\) 是开集. 由定理1, \(\bigcup\limits_{\lambda} F_\lambda^{\mathsf c}\) 是开集. 但是由和通关系 \(\mathbb{E}^1 - \bigcup\limits_{\lambda} F_\lambda^{\mathsf c} = \bigcap\limits_{\lambda} F_\lambda\), 而且由定理\ref{thm1.4.4}, \(\mathbb{E}^1 - \bigcup\limits_{\lambda} F_\lambda^{\mathsf c}\) 是闭集, 所以 \(\bigcap\limits_{\lambda} F_\lambda\) 是闭集. 
\end{proof}

注意, \ref{thm1.4.5.3} 中的条件``有限个''闭集不能改成``无限个''闭集. 

\begin{example}\label{eg6}
\((0,1) = \bigcup\limits_{n=2}^{\infty} \left[ \frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n} \right]\). 其中每一项 \(\left[ \frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n} \right]\) 都是闭集, 而这无限多个闭集的和却是开区间 \((0,1)\), 它不是闭集. 
\end{example}

既然闭集的余集是开集, 那么从开集的构造可以引入余区间的概念. 

\begin{definition}
设 \(A\) 是直线上的闭集, 称 \(A\) 的余集 \(A^{\mathsf c} = \mathbb{E}^1 - A\) 的构成区间为 \(A\) 的\textbf{余区间}. 
\end{definition}

我们又可以得到闭集的构造如下：

\begin{theorem}\label{thm1.4.6}
直线上的闭集 \(F\) 或是全直线, 或是从直线上挖掉有限个或可列个互不相交的开区间(即 \(F\) 的余区间)所得到的集. 
\end{theorem}

直线上存在不开不闭的集, 如区间 \((\alpha, \beta], [\alpha, \beta)\). 直线上既开又闭的点集, 只有两个, 一个是空集, 另一个是全直线. 

事实上, 如果点集 \(A\) 不是空集但同时既是开集又是闭集, 则可证明 \(A\) 必是全直线. 用反证法. 假设 \(A\) 不是全直线. 由于 \(A\) 是开集, 如果 \(A\) 的构成区间是 \(\{(\alpha_n, \beta_n)\}\), 那么 \(A = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} (\alpha_n, \beta_n)\). 由于 \(A\) 不是全直线, 那么这些构成区间的端点 \(\{\alpha_n\}, \{\beta_n\}\) 中至少有一个是有限的, 设为 \(\alpha_1, \alpha_1 \notin A\). 但由于 \((\alpha_1, \beta_1) \subseteq A\), 所以 \(\alpha_1\) 是 \(A\) 的极限点, 应有 \(\alpha_1 \in A^{\prime}\). 又由于 \(A\) 是闭集, 应有 \(A^{\prime} \subseteq A\), 从而必须 \(\alpha_1 \in A\). 这是矛盾. 所以 \(A\) 必是全直线. 

由定理\ref{thm1.4.5} 及集的运算性质, 可得到下面的结果：

\begin{theorem}\label{1.4.7}
开集减闭集后的差集仍是开集, 闭集减开集后的差集仍是闭集. 
\end{theorem}

\begin{proof}
设 \(G\) 是一开集而 \(F\) 是一闭集, 由于
\[
G - F = G \cap (\mathbb{E}^1 - F), \quad F - G = F \cap (\mathbb{E}^1 - G)
\]
从定理\ref{thm1.4.1}, \ref{thm1.4.4} 及 \ref{thm1.4.5} 即得知 \(G - F\) 是开集, \(F - G\) 是闭集. 证毕. 
\end{proof}

闭集的最大优点是它对求极限运算是封闭的. 对于一个非闭的集, 只要将它的所有极限点补充到该集上就成为闭集了. 下面来证实这一点. 

\begin{definition}
\(A\) 是一个点集, 称 \(A \cup A^{\prime}\) 为 \(A\) 的\textbf{闭包}, 记为 \(\overline{A}\). 
\end{definition}

\begin{theorem}\label{thm1.4.8}
集 \(A\) 的闭包是闭集. 
\end{theorem}

\begin{proof}
设 \(x_0\) 是 \(\overline{A} = A \cup A^{\prime}\) 的极限点, 今证 \(x_0 \in \overline{A}\). 显然不妨设 \(x_0 \notin A\). 根据引理 \ref{lemma2}, 存在 \(\overline{A}\) 中互不相同的点组成的序列 \(\{x_n\}\), 使得 \(x_n \to x_0\). 再作 \(A\) 中序列 \(\{x_n^{\prime}\}\) 如下：当 \(x_n \in A\) 时, 取 \(x_n^{\prime} = x_n\); 当 \(x_n \notin A\)(即 \(x_n \in A^{\prime}\))时, 取 \(x_n^{\prime}\) 满足 \(|x_n^{\prime} - x_n| < \frac{1}{n}\)(显然, 这是易于做到的). 这样 \(A\) 中序列 \(\{x_n^{\prime}\}\) 就满足 \(x_n^{\prime} \neq x_0 (n=1, 2, \dots)\), 而且 \(x_n^{\prime} \to x_0\). 再根据引理 \ref{lemma2}, \(x_0 \in A^{\prime} \subseteq \overline{A}\).
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm1.4.9}
设 \(A\) 是直线上点的点集, 那么 \(x \in \overline{A}\) 的充要条件是 \(x\) 的每个环境 \((\alpha, \beta)\) 与 \(A\) 相交. 
\end{theorem}

\begin{proof}
设 \(x \in \overline{A}\), 当 \(x \in A\) 时, 自然 \(x\) 的每个环境 \((\alpha, \beta)\) 与 \(A\) 相交；当 \(x \notin A\) 时, \(x\) 必须属于 \(A^{\prime}\), 对 \(x\) 的每个环境 \((\alpha, \beta)\), \(((\alpha, \beta) - \{x\}) \cap A = (\alpha, \beta) \cap A\) 不变, 因此 \((\alpha, \beta)\) 也与 \(A\) 相交. 

反过来, 设 \(x_0\) 的每个环境 \((\alpha, \beta)\) 与 \(A\) 相交, 如果 \(x_0 \in A\), 自然 \(x_0 \in \overline{A}\); 如果 \(x_0 \notin A\), 那么 \(((\alpha, \beta) - \{x_0\}) \cap A = (\alpha, \beta) \cap A \neq \varnothing\), 因此 \(x_0 \in A^{\prime}\). 总之 \(x_0 \in \overline{A}\). 
\end{proof}

顺便我们得到

\begin{theorem}\label{thm1.4.10}
设 \(A\) 是直线上点的点集, \(A\) 成为闭集的充要条件是 \(A = \overline{A}\). 
\end{theorem}

\begin{proof}
如果 \(A = \overline{A}\), 那么 \(A^{\prime} \subseteq \overline{A} = A\), 所以 \(A\) 是闭集. 反过来, 如果 \(A\) 是闭集, 那么 \(A^{\prime} \subseteq A\), 所以 \(\overline{A} = A \cup A^{\prime} = A\).
\end{proof}

\section{完全集}

\begin{definition}
如果 \(A \subseteq A^{\prime}\), 就称 \(A\) 是\textbf{自密集}. 
\end{definition}

换句话说, 当集中的每一个点都是这个集的极限点时, 这个集是自密集；另一个说法就是没有孤立点的集就是自密集. 

\begin{definition}
如果 \(A^{\prime} = A\), 称 \(A\) 是\textbf{完全集}. 
\end{definition}

完全集就是\textbf{自密闭集}, 也就是没有孤立点的闭集. 
例如闭区间 \([\alpha, \beta] (\alpha < \beta)\), 空集及全直线都是完全集. 

由孤立点的定义很容易知道, 直线上点集 \(A\) 的孤立点必是包含在 \(A\) 的余集中的某两个开区间的公共端点. 因此, 闭集的孤立点一定是它的两个余区间的公共端点. 完全集是没有孤立点的闭集, 所以, \textbf{完全集就是没有相邻接的余区间的闭集}. 

下面举一个重要的完全集的例子, 后面要用来说明一些问题. 

\subsection{Cantor 集}

将闭区间 \([0,1]\) 三等分, 去掉中间的一个开区间
\[
I_1^{(1)} = \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right)
\]
把剩下的两个闭区间 \(\left[0, \frac{1}{3}\right]\)、\(\left[\frac{2}{3}, 1\right]\) 分别再三等分, 再各去掉中间的开区间：
\[
I_1^{(2)} = \left( \frac{1}{9}, \frac{2}{9} \right), \quad I_2^{(2)} = \left( \frac{7}{9}, \frac{8}{9} \right)
\]

余下四个闭区间
\[
\left[0, \frac{1}{9}\right], \left[\frac{2}{9}, \frac{3}{9}\right], \left[\frac{6}{9}, \frac{7}{9}\right], \left[\frac{8}{9}, 1\right]
\]

又分别把这些闭区间三等分, 再各去掉其中的开的区间：
\begin{align*}
	I_1^{(3)} = \left( \frac{1}{27}, \frac{2}{27} \right), \quad I_2^{(3)} = \left( \frac{7}{27}, \frac{8}{27} \right)\\
	I_3^{(3)} = \left( \frac{19}{27}, \frac{20}{27} \right), \quad I_4^{(3)} = \left( \frac{25}{27}, \frac{26}{27} \right)
\end{align*}

(如图 \ref{fig1} 所示)这样继续下去,在第 \(n\) 次三等分时去掉的开区间(称为第 \(n\) 级区间)是
\[
I_{1}^{(n)} = \left( \frac{1}{3^n}, \frac{2}{3^n} \right), I_{2}^{(n)} = \left( \frac{7}{3^n}, \frac{8}{3^n} \right), \dots, I_{2^{n-1}}^{(n)} = \left( \frac{3^n - 2}{3^n}, \frac{3^n - 1}{3^n} \right)
\]

\begin{figure}[hbt]
\centering
\includegraphics{fig/Lec3_fig1}
  \caption{Cantor 疏朗完全集构造示意图}
  \label{fig1}
\end{figure}

令 \( O = \bigcup\limits_{n,k} I_{k}^{(n)} \), 这是一个开集,所以 \( K = [0,1] - O \) 是闭集,称 \(K\) 为 Cantor 集. 

\begin{property}
	Cantor 集具有下面一些重要性质:
\begin{enumerate}%[label=(\roman*)]
\item Cantor 集是完全集. \label{c1}
\item Cantor 集的势是 \(\aleph\). \label{c2}
\item 被挖去的区间 \(\{I_k^{(n)}\}\), \(k=1,2,\dots,2^{n-1}\), \(n=1,2,\dots\) 的长度之和为 $1$. \label{c3}
\end{enumerate}
\end{property}

\begin{proof}
\ref{c1} 事实上, \(K\) 的余区间就是 \(\{I_k^{(n)}\}\), \(k=1,2,\dots,2^{n-1}\), \(n=1,2,\dots\), 以及 \((-\infty,0),(1,\infty)\). 这些区间显然是互不相邻的. \(K\) 既是没有相邻接的余区间的闭集, 所以 \(K\) 是完全集. 

\ref{c2} 用 \([0,1]\) 中数的三进制和二进制小数表示法来证明. 将 \([0,1]\) 先用三进位小数表示, 三进位有理小数采用有限位小数表示, 例如 \(\frac{1}{3}\) 表示为 $0.1$, 而不采用表示 $0.222\cdots$. 显然
\[
I_{1}^{(1)} = (0.1,0.2), \quad I_{1}^{(2)} = (0.01,0.02), \quad I_{2}^{(2)} = (0.21,0.22)
\]

可以看出一般的第 \(n\) 级的余区间 \(I_{k}^{(n)} (k=1,2,\dots,2^{n-1})\) 形如
\[
(0.a_1a_2\cdots a_{n-1}1,0.a_1a_2\cdots a_{n-1}2)
\]
其中 \(a_1,\dots,a_{n-1}\) 都只是 $0$ 或 $2$. 因此, 这个余区间中的实数展成三进位小数时必然形如
\[
0.a_1\cdots a_{n-1}1a_{n+1}\cdots
\]
即 \([0,1]-K\) 中的数展成三进位小数时, 其中至少有一位是 1. 我们考察形如
\begin{align}
	x = \frac{a_1}{3} + \frac{a_2}{3^2} + \cdots + \frac{a_n}{3^n} + \cdots \label{1.4.3}
\end{align}
的小数, 其中每个系数 \(a_n\) 都是 $0$ 或者 $2$, 这种小数全体记为 \(A\). 

由于 \(A \subseteq [0,1]\), 而 \([0,1]-K\) 中的数展开成三进位小数 \eqref{1.4.3} 中 \(a_n\) 至少有一位是 1, 所以 \([0,1]-K\) 中没有 \(A\) 的数, 因而有 \(A \subseteq K\). 

令 \(B\) 是 \([0,1]\) 的二进位小数表示全体(也采用二进位有理小数的有限位小数表示). 作 \(A\) 到 \(B\) 的映射 \(\varphi\),
\[
\varphi\colon x = \sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{a_\nu}{3^\nu} \longmapsto x^{\prime} = \sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{a_\nu/2}{2^\nu}, \quad a_\nu = 0\,\text{或}\,2, \quad \nu = 1, 2, \dots,
\]
这个映射是一一对应, 但 \(B\) 的势是 \(\aleph\), 所以 \(A\) 的势也是 \(\aleph\). 又由 \(A \subseteq K \subseteq [0,1]\), 立即知道 \(K\) 的势是 \(\aleph\). 

\begin{rmk}
	更一般地可以证明：直线上任何非空完全集的势为 \(\aleph\). 证明过程这里不写了.
\end{rmk}

\ref{c3} 事实上, 第 \(n\) 级区间 \(I_k^{(n)}\) 的长度是 \(\frac{1}{3^n}\), 但第 \(n\) 级区间总共有 \(2^{n-1}\) 个. 所以被挖去的区间 \(\{I_k^{(n)}\}\) 的总长度 \(l = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^n} = 1\). 
\end{proof}

\section{稠密和疏朗}

我们知道, 任何两个实数之间存在有理数, 换句话说, 任何一个实数都是有理数的极限点. 我们说这是有理数的稠密性. 一般地, 我们引进下面的定义. 

\begin{definition}
设 \(A,B\) 是直线上的两个点集, 如果 \(B\) 中每个点的任一环境中必有 \(A\) 的点, 那么称 \(A\) 在 \(B\) 中\textbf{稠密}. 当 \(B\) 是全直线时, 即 \(A\) 在全直线上稠密时, 称 \(A\) 是\textbf{稠密集}. 
\end{definition}

例如 \([0,1]\) 中的有理数全体在 \([0,1]\) 中稠密, 而直线上有理数全体是稠密集. 

和稠密性相对立的概念是疏朗. 

\begin{definition}
设 \(S\) 是直线上点集. 如果点集 \(S\) 在每个不空的开集中都不稠密, 就称 \(S\) 是\textbf{疏朗集}, 或称\textbf{无处稠密集}. 
\end{definition}

显然, 直线上点的点集 \(S\) \textbf{是疏朗集的充要条件是在任何开区间 \((\alpha,\beta)\) 中存在开区间 \((\alpha^{\prime},\beta^{\prime}) \subseteq (\alpha,\beta)\), 在 \((\alpha^{\prime},\beta^{\prime})\) 中没有 \(S\) 中的点}. 

例如孤立点集 \(A\) 是疏朗的. 因为对于任意取的开区间 \((\alpha,\beta)\) 如果 \((\alpha,\beta)\) 不含有 \(A\) 的点就不需要再讨论. 如果含有 \(A\) 的点 \(x_0, \alpha < x_0<\beta\), 由于 \(x_0\) 是一孤立点, 必有正数 \(\delta>0\), 使得 \((x_0-\delta, x_0+\delta) \subseteq (\alpha,\beta)\) 而 \((x_0-\delta, x_0+\delta)\) 中不含有 \(A\) 的点, 所以 \(A\) 是疏朗的. 但是, 疏朗点集并不就是孤立点集. 

\textbf{疏朗集 \(A\) 的余集 \(A^{\mathsf c}\) 一定是稠密集}. 事实上, 若 \((\alpha,\beta)\) 是任意一个开区间, 其中至少有一个子区间 \((\alpha^{\prime},\beta^{\prime})\) 不含 \(A\) 中的点, 即 \((\alpha^{\prime},\beta^{\prime})\) 含有 \(A^{\mathsf c}\) 的点, 换言之, \((\alpha,\beta)\) 中含有 \(A^{\mathsf c}\) 中的点, 所以余集 \(A^{\mathsf c}\) 是稠密集. 

显然, 直线上上的疏朗集不能含有任何一个开区间. 反过来, 如果闭集 \(A\) 不含有任何一个开区间, 那么 \(A\) 必是一个疏朗集. 因为如果闭集 \(A\) 不含有开区间, 那么任一开区间 \((\alpha,\beta)\) 中必含有 \(A\) 的余集 \(A^{\mathsf c}=\mathbb{E}^1-A\) 中的点 \(y\), 但 \(A^{\mathsf c}\) 是开集, 所以在 \(A^{\mathsf c}\) 中存在 \(y\) 的环境 \((y-\varepsilon,y+\varepsilon)\subseteq (\alpha,\beta)\), 即 \((y-\varepsilon,y+\varepsilon)\) 中不含有 \(A\) 中的点. 所以 \(A\) 在 \((\alpha,\beta)\) 中不稠密, 就是说 \(A\) 是疏朗集. 

利用这个事实, 看一看 Cantor 集 \(K\). 显然 \(K\) 是闭集, 并且不含有任何区间, 因此它是一个疏朗集. 前面又说过 Cantor 集是完全集. 因此有

\begin{theorem}
Cantor 集是疏朗完全集. 
\end{theorem}

所以 Cantor 集又称为 \textbf{Cantor 的疏朗完全集}. 这个例子说明不空的完全集也可以是疏朗的. 

可以证明：直线上不空的疏朗闭集成为完全集的充要条件是：它的任何两个余区间 \((\alpha, \beta), (\alpha^{\prime}, \beta^{\prime})\) 中间必夹有另一个余区间 \((\alpha^{\prime\prime}, \beta^{\prime\prime})\)(即如果 \(\beta < \alpha^{\prime}\), 那未必有另一个余区间 \((\alpha^{\prime\prime}, \beta^{\prime\prime})\), 使得 \(\beta < \alpha^{\prime\prime}, \beta^{\prime\prime} < \alpha^{\prime}\)). 


\end{document}